Young-Tableau

Ein Young-Tableau oder Young-Diagramm (auch Ferrers Diagram wenn Punkte verwendet werden), benannt nach Alfred Young, ist ein grafisches Objekt, das in der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ verwendet wird. Ein Young-Tableau ist eine Sammlung einer endlichen Anzahl von Zellen (meist symbolisiert durch Quadrate), die von oben nach unten und linksbündig so angeordnet sind, dass deren Anzahl in jeder neuen Zeile nicht zunimmt.

Beispiele für Young-Tableaux:

a) [ ][ ][ ][ ]     b) [ ]      c) [ ]        d) [ ][ ][ ][ ]
   [ ][ ]                          [ ]
   [ ][ ]                          [ ]
   [ ]                             [ ]

Folgende grafische Objekte sind keine Young-Tableaux:

   [ ][ ][ ][ ]        [ ]
   [ ][ ]              [ ][ ]
   [ ][ ][ ]
   [ ]

Die Partition eines Young-Tableau ist die Aufzählung der Zahl der Zellen jeder Zeile und dient der kompakten Beschreibung seiner Struktur. In den gezeigten Beispielen ergeben sich folgenden Partitionen: a) ${\displaystyle (4,2,2,1)}$ b) ${\displaystyle (1)}$ c) ${\displaystyle (1,1,1,1)}$ und d) ${\displaystyle (4)}$, wobei die Klammer in diesem Beispiel nicht die weiter unten verwendete Zyklusschreibweise meint. Die Ordnung ${\displaystyle n}$ des Tableaux bezeichnet die Zahl aller Zellen. Die Anzahl gültiger Tableaux mit der Ordnung ${\displaystyle n}$ kann durch die Partitionsfunktion ${\displaystyle P(n)}$ angegeben werden.